belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks hanya butuh sedikit ketelitian dan kesabaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada matriks juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal matriks dan menemukan solusinya. Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa "$\ \ $" atau kurung siku "$[\ \ ]$". Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Umumnya penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya. SOAL DAN PEMBAHASAN MATRIKS Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks. Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri atau SMMPTN Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri dan UN Ujian Nasional. 1. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapSebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Jika diketahui $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$ adalah matriks ortogonal, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & \dfrac{1}{9} \\ D\ & \dfrac{4}{9} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif PembahasanSekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$. Eksplorasi yang kita lakukan yaitu $\begin{align} A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{*kalikan dengan matriks A} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T} \end{align}$ Sehingga kita peroleh persamaan; $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut; $a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left pers. 1 \right $ $\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left pers. 2 \right $ $\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left pers. 3 \right $ Apabila persamaan $\left 1 \right $,$\left 2 \right $, dan $\left 3 \right $ kita jumlahkan, maka akan kita peroleh persamaan berikut; $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1$2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapJika $A=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ maka $x+y=...$ $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 14 \\ C\ & 19 \\ D\ & 23 \\ E\ & 25 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan, $A^{2}=A\times A$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}$ $xA=\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}$ $yI=\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$ Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya $\begin{align} 18-2x+0 &= 0 \\ 18 &= 2x \\ 9 &=x \\ \hline 31-5x+y &=0 \\ 31-45+y &=0 \\ -14+y &=0 \\ y &=14 \\ \hline x+y &= 23 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 23$3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=A+B$ $C=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{52-51}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah... $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 7 \\ C\ & 12 \\ D\ & 17 \\ E\ & 31 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$CD=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 1-1+-3-2 & 12+-31\\ 4-1+2-2 & 42+21 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} -1+6 & 2-3\\ -4-4 & 8+2 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=CD$ $\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$. Nilai $2a+\frac{1}{2}b$ $ \begin{align} 2a+\frac{1}{2}b & = 25+\frac{1}{2}14 \\ & = 10+7 \\ & = 17 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 17$5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=AB$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 9 & -1\\ 15 & -5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{9-5-15-1}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini - Paket I Paket II Sewa Hotel 56 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & 5\\ 5 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanDengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini; $5x+4y= $6x+5y= $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks; $\begin{align} A \cdot X & = B \\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ X & = A^{-1} \cdot B \\ \end{align} $ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{55-64}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah... $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 10 \\ C\ & 12 \\ D\ & 14 \\ E\ & 16 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+1 & a\\ ab+2 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ ab+2 & = 14 \\ ab & = 12 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 12$8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $a-d$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix} d & 3\\ -1 & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\ \dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3} \end{pmatrix}$ Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah... $ \begin{align} \dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\ -1 & = ad+3 \\ ad & = -1-3=-4 \end{align} $ $ \begin{align} a & = \dfrac{d}{ad+3} \\ a & = \dfrac{d}{-4+3} \\ a & = -d \\ ad & = -4 \\ -dd & = -4 \\ -d^{2} & = -4 \\ d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2 \end{align} $ Untuk $d=2$ maka $a=-2$ Untuk $d=-2$ maka $a=2$ Nilai $a-d=2-2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4$9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 *Soal LengkapDiketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $detA=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $3,4$ adalah... $\begin{align} A\ & x+y-7=0 \\ B\ & x-y+7=0 \\ C\ & x-y+1=0 \\ D\ & x+y-1=0 \\ E\ & x+y+1=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right$ Persamaan garis $l$ adalah $1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1-2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3=0$ $3y+2+2x-4y+1+3x=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis yang sejajar $m_{1}=m_{2}$ dengan garis $l$ melalui $3,4$ adalah $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-4 & = -1x-3 \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ x+y-7=0$ 10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 *Soal LengkapDiketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} A\ & 6x+y-20=0 \\ B\ & 2x-3y-6=0 \\ C\ & 3x-2y-4=0 \\ D\ & x-6y+16=0 \\ E\ & 6x-y-16=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUnsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=PQ$ $\begin{align} m & = PQ \\ & = \left \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{cccc} 2x-y = 4 & \times 2 \\ 3x-2y = 5 & \times 1 \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & - \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 33-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A3,2$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-2 & = 6x-3 \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 6x-y-16=0$ 11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 *Soal LengkapNilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah... $\begin{align} A\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ B\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ C\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ D\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ E\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Alternatif PembahasanAgar sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$ $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{fx}$ mempunyai nilai real adalah $fx \geq 0$. Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$. Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini; $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{5}{4} \\ B\ & \dfrac{3}{2} \\ C\ & \dfrac{7}{4} \\ D\ & 2 \\ E\ & \dfrac{9}{4} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanKarena matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & ab+ab\\ ab+ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & 2ab \\ 2ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \hline 2ab & = b \\ a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+b^{2} & = a+1 \\ b^{2} & = a+1-a^{2} \\ & = \dfrac{1}{2}+1-\left \dfrac{1}{2} \right ^{2} \\ & = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{5}{4}$13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah... $\begin{align} A\ & 6 \\ B\ & 3 \\ C\ & 0 \\ D\ & -3 \\ E\ & -6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1-1+0 & -x -y+0\\ 1+1+0 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & -x -y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} -x-y=2 & \\ -x+y+2z = 4 & + \\ \hline -2x+2z = 6 & \\ -x+z = 3 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanKita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$. $\begin{align} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2y+x \\ -y+x^{2} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 *Soal LengkapJika $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanInvers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $\begin{align} P & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ P^{-1} & = \frac{1}{13-21}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left AB^{-1} \right^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanSifat perkalian invers pada matriks berlaku $AB^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$. $\begin{align} \left AB^{-1} \right^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot A \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2+1 & 3-1 \\ 6+0 & 9+0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4 \\ B\ & 6 \\ C\ & 8 \\ D\ & 10 \\ E\ & 12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{pmatrix} \\ AB & = \begin{vmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{vmatrix} \\ 10 & = 1+2x3y+12-y+63+4x \\ 10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\ 10 & = 2xy -6 \\ 10+6 & = 2xy \\ 8 & = xy \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 8$18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ax+bx+by \\ bx+2ax+2ay \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} ax+bx+by=a & \times b\\ bx+2ax+2ay=b & \times a \\ \hline abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\ abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & - \\ \hline b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right x+ \left b^{2} -2a^{2} \righty=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right \left x+y \right =0 \\ \left x+y \right = \dfrac{0}{\left b^{2} -2a^{2} \right} \\ \left x+y \right = 0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} A+B &= C^{t} \\ \begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x+8=6$ sehingga $x=-2$ $3y-2=7$ sehingga $y=3$ $2x+3y=2-2+33=-4+9=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 5$20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapJumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah... $3X-2Y=\begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix}$ $2X-5Y=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ $\begin{align} A\ & \dfrac{13}{11} \\ B\ & \dfrac{9}{11} \\ C\ & \dfrac{8}{11} \\ D\ & \dfrac{5}{11} \\ E\ & \dfrac{4}{11} \end{align}$ Alternatif PembahasanMatriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ $\begin{align} 3X-2Y &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ 3\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3a-2c & 3b-2d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \hline 2X-5Y &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ 2\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2a-5c & 2b-5d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh$3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$ $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$ $\begin{array}{cccc} 3a-2c=3 & 3b-2d=-1 & \times 5 \\ 2a-5c=1 & 2b-5d=2 & \times 2 \\ \hline 15a-10c=15 & 15b-10d=-5 & \\ 4a-10c=2 & 4b-10d=4 & - \\ \hline 11a =13 & 11b =-9 & \\ a =\dfrac{13}{11} & b =\dfrac{-9}{11} \end{array} $ Jumlah semua entri pada matriks $X$ adalah $a+b=\dfrac{4}{11}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{4}{11}$ 21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapDiberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini. $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah... $\begin{align} 1\ & w-1=y^{2013} \\ 2\ & z=3y^{2012} \\ 3\ & 4z=3x \\ 4\ & 2w-x=2 \end{align}$ Alternatif PembahasanSebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$ $\begin{align} A^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=8\\ A^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=16 \\ A^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix} 16 & 15 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=32 \\ x &= 2^{2013+1} \\ \hline B^{2} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ B^{3} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ y &= 2 \\ \hline C^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=6 \\ C^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=12 \\ C^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 8 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=24 \\ z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\ \hline D^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=5 \\ D^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=9 \\ D^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=17 \\ w &= 2^{2013}+1 \\ \end{align}$ Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan $1\ w-1=y^{2013}$ Benar $2\ z=3y^{2012}$ Benar $3\ 4z=3x$ Benar $4\ 2w-x=2$ Benar $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \text{BENAR}$22. Soal UM UNPAD 2009Apabila transpose dari matriks $X=\left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right $ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ -1 \\ B\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -\sqrt{2} \\ C\ & \sqrt{3}\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -1 \\ E\ & 0\ \text{atau}\ \sqrt{3} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} X &= \left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right \\ \left X \right &= 2008y-2009x \end{align}$ Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$. Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left A^{t} \right = \left A \right$ dan $ \left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right}$ dapat kita simpulkan $\begin{align} X^{-1} &= X^{T} \\ \left X^{-1} \right &= \left X^{T} \right \\ \dfrac{1}{\left X \right} &= \left X \right \\ \dfrac{1}{\left 2008y-2009x \right} &= \left 2008y-2009x \right \\ 1 &= \left 2008y-2009x \right^{2} \\ \pm 1 &= 2008y-2009x \\ \pm 1 &= \left X \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 1\ \text{atau}\ -1$23. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapMatriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $I$ adalah... $\begin{align} A\ & A^{2} \\ B\ & B^{2} \\ C\ & C^{2} \\ D\ & A \cdot D^{2} \\ E\ & A \cdot C^{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu; $ A^{-1}^{-1} = A $ $ A^{-1} . A = = I $ $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $ $ AB^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $ Dari apa yang disampaikan pada soal, dapat kita simpulkan bahwa $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$ $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I \end{align}$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ C^{2}$24. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & -1 \\ E\ & -4 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu; Misalkan matriks $ A = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right $ $detA = A = $$ a \times d - b\times c $ invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{A} \left \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right $ $\begin{align} \begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{a-b-0} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$ $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$ $\dfrac{1}{ b }=a$ $1=ab$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1$25. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $ \begin{align} AB & = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right \left \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} & + \\ + & + \end{matrix} \right \end{align} $ Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \hline M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+b \\ 2c+d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh; $\begin{array}{cccc} a-b = -1 & c-d = 5 & \\ 2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\ \hline 3a = 3 & 3c = 12 \\ a = 1 & c = 4 \\ b = 2 & d = -1 \end{array} $ $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ 26. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapDiketahui matriks $A =\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 5 \\ D\ & 8 \\ E\ & 10 \end{align}$ Alternatif PembahasanJika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} A & = 2B^{T} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;$2= 4c-6b$ $4=2a$ maka $a=2$ $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$ $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 8$27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 *Soal LengkapDiketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$ $\begin{align} A\ & 18 \\ B\ & 16 \\ C\ & 14 \\ D\ & 10 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+4b & a-2b\\ 2+12 & 1-6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \end{align} $ $\begin{array}{cccc} 2a+4b = 8 & \times 1 \\ a-2b = 12 & \times 2 \\ \hline 2a+4b = 8 & \\ 2a-4b = 24 & +\\ \hline 4a=32 \\ a=8 \\ b=-2 \end{array} $ Nilai $2a-b=28-2=18$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 18$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah... $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 4 \\ D\ & 16 \\ E\ & 81 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \left A^{2} \right &=21-12=4 \\ \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{n} \right = \left A \right ^{n}$ maka $\begin{align} \left A^{4} \right &= \left A^{2} \right^{2} \\ &= 4^{2} =16 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 16$29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka $det \left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} B-A &=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ B-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1-2 & 3-1\\ 0-1 & 2-0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= A \\ -32-14 &= \left A \right \\ -2 &= \left A \right \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right }$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A $maka $\begin{align} \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -2$30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \leftA \cdot B \right = \leftA \right \cdot \left B \right$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} \leftB \right &= \begin{vmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -32-15=-1 \\ \leftC \right &= \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 43-52=2 \\ \hline B \cdot A &=C \\ \leftB \cdot A \right &= \left C \right \\ \leftB \right \cdot \left A \right &= \left C \right \\ -1 \cdot \left A \right &= 2 \\ \left A \right &= -2 \\ \hline \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -2$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} A^{3}+B &= C \\ A^{3} &= C-B \\ &= \begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7-2 & 2-1\\ 0+3 & 4-2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \left A^{3} \right &= -92-33 \\ \left A \right^{3} &= -27 \\ \left A \right &= -3 \\ \hline \left 3 A^{-1} \right &= 3^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\ &= -3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -3$32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanHubungan matriks $\begin{align} A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} $ Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat. $\begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \hline C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapSuatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut. Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A 0,1 0,3 0,1 Model B 0,1 0,2 0,2 Model C 0,3 0,4 0,1 Jumlah waktu yang tersedia di bagian pemotongan, penjahitan dan finishing disajikan dalam tabel berikut. Pemotongan 68 Penjahitan 116 FinishingB 51 Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ berturut-turut $x,\ y,\ \text{dan}\ z$, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah... $ \begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 & 1160 & 510 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 68 \\ 116 \\ 51 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanJika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A $x$ 0,1 0,3 0,1 Model B $y$ 0,1 0,2 0,2 Model C $z$ 0,3 0,4 0,1 Total Waktu 68 116 51 Dari tabel di atas dapat kita ambil kesimpulan Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$ $ x+ y+3z=680$ Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$ $ 3x+ 2y+ 4z=1160$ Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$ $ x+ 2y+ z=510$ Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$ Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 10 & -2 \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah... $ \begin{align} A\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ B\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ C\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} X = & A+2B-C^{T} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4+6-7 & -2+14-10 \\ 1-4+9 & 5-8+2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} X^{-1} = & \dfrac{1}{3-1-2-6} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah... $ \begin{align} A\ & 8 \\ B\ & 10 \\ C\ & 14 \\ D\ & 16 \\ E\ & 20 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} C^{T} = & 3A-B \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y & -6 \\ 3z & 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y-2 & -6-y-2 \\ 3z-1 & 12-z+x \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh$-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$ $3z-1=8$ sehingga $z=3$ $12-z+x=10$ sehingga $x=1$ Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-31+2+53=-3+2+15=14$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 14$ 36. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ 0&= \left 1-t^{2}\right-\left4+6t+2t^{2}\right \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \leftt+1 \right^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= -1^{2}+3-1+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 0$ 37. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 4\\ 1 & 25 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 25 & -4\\ -2 & 15 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{23-41} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -23+1-4 & -2-1+12\\ 143+10-4 & 14-1+102 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ M^{2}\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5-5+21 & -52+23\\ 1-5+31 & 12+33 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$ 38. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Hasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}^{-1} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{56-0-3}\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -106+300 & -103+305\\ 356+-270 & 353+-275 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$ 39. Soal SPMB 2007 Kode 741 *Soal Lengkap Jika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 6\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} -1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{20+13} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 02+-30 & 01+-33\\ -12+20 & -11+23 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -\frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} \\ X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} & 3 \\ \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$ 40. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$ $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$ Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -5$ 41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 *Soal LengkapJika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\leftBA^{-1} \right^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 13 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat invers matriks $\left A \cdot B \right^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left A^{-1} \right^{-1}=A$ dapat kita peroleh $\begin{align} \leftBA^{-1} \right^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \leftA^{-1} \right^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} 23+1-2 & 2-1+11 \\ 43+3-2 & 4-1+31 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$ 42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 *Soal Lengkap Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 41 & -19 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 33 & 54 \\ 19 & 31 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} -33 & 19 \\ 54 & -31 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} -41 & -2 \\ 19 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh $\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ -5-6} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{3-2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -57+-25 & -52+-21 \\ 37+15 & 32+11 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$ 43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 *Soal LengkapJika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan... $\begin{align} 1\ & BD=CD \\ 2\ & B=C \\ 3\ & ABD=ACD \\ 4\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh $\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= A \\ D \cdot D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ I \cdot \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ B^{-1}-C^{-1}=DA$ 44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left ab-bd-ab-bc \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left ab-bd-ab+bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -bd +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left bd-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$ 45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left -ad-cd-bc-cd \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left -ad-cd+bc+cd \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -ad +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left ad-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 46. Soal SPMB 2004 Regional I *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & 0 \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{a1-1-a0} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 47. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left a-b \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & 5 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh $\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+11 \\ -2a+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2a+1=11$ sehingga $a= 5$ $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ $\left a-b \right=\left 5-2 \right=3$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 48. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh $\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{23-17}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 24+-71 \\ -14+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 49. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan... $\begin{align} A\ & 15 \\ B\ & 10 \\ C\ & 5 \\ D\ & -5 \\ E\ & -10 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} A^{2} &= pA+qI \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 22+1-4 & 21+13 \\ -42+3-4 & -41+33 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $p=5$ $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$ $p+q=5-10=-5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -5$ 50. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & \dfrac{\pi}{6} \\ C\ & \dfrac{\pi}{4} \\ D\ & \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan. $\begin{align} \left A \right &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{\pi}{6}$ 51. Soal SPMB 2005 Regional III *Soal Lengkap Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ B\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ C\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh $\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2x-3x-1 &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1\ \text{atau}\ 3$ 52. Soal SPMB 2005 Regional I *Soal Lengkap Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} pp+-qq \\ -qp+pq \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ B\ & -1\ \text{atau}\ 0 \\ C\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & 1\ \text{atau}\ 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left A \right = 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ x1-x-1-2 & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \leftx-2 \right\leftx+1 \right & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -1\ \text{atau}\ 2$ 54. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah... $\begin{align} A\ & p \neq 0 \\ B\ & q \neq 0 \\ C\ & pq \neq 0 \\ D\ & p \neq 1\ \text{dan}\ p \neq -1 \\ E\ & q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left A \right \neq 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ p-1p+1-p-qp+q & \neq 0 \\ p^{2}-1- \leftp^{2}-q^{2} \right & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left q+1 \right\leftq-1 \right & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$ 55. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2p+3q \\ B\ & 2p-3q \\ C\ & 3p+2q \\ D\ & 3p-2q \\ E\ & -3p+2q \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2x-3y=p & \times 2\\ 3x+2y=q & \times 3 \\ \hline 4x-6y=2p & \\ 9x+6y=3q & + \\ \hline 13x =2p+3q \\ x =\dfrac{2p+3q}{13} \end{array} $ Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh $\begin{align} x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}} \\ \dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\ \hline a & = 2p+3q \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 2p+3q$ 56. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\leftP^{-1} \right^{2}$ sama dengan matriks $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1+2x & -2x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 2x & 1-2x \\ 1+2x & -2x \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1+2x & 2x \\ -2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{1+x1-x-xx} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \leftP^{-1} \right^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-x^{2}-x^{2} & 1-x-x-x1+x \\ x1-x + x1+x & -x^{2}+1+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$ 57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$. Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 58. Soal SPMB 2006 Kode 111 Regional I *Soal Lengkap Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & \left 2+k \right\left 1+k \right \\ B\ & \left 2-k \right\left 1+k \right \\ C\ & \left 2-k \right\left 1-k \right \\ D\ & \left 1+k \right\left 1-k \right \\ E\ & \left 1-k \right\left 2+k \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{k0-11} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 00+-1k \\ -10+kk \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x-1=k$ sehingga $x=k+1$ $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$ $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-k-2k+1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \left 2-k \right\left 1+k \right$ 59. Soal SPMB 2006 Kode 411 Regional I *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah... $\begin{align} A\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left a-b \right \\ B\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left a-b \right \\ C\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right \\ D\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left b-a \right \\ E\ & \dfrac{b}{a}-2\left b-a \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$ Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left x_{1}+x_{2} \right^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b b-a}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left b-a \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right$ 60. Soal SPMB 2006 Kode 310 Regional II *Soal Lengkap Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} a-b-6=-3 & \\ -2+b+2c=-1 & \\ a-3-2c=-3 & \\ \hline a-b= 3 & \cdots 1 \\ b+2c= 1 & \cdots 2 \\ a -2c=0 + & \cdots 3 \\ \hline 2a=4 & \\ a=2 \end{array} $ Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=2^{2}-11=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 61. Soal SPMB 2006 Kode 510 Regional III *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$. $\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$ $x=-2y$ sehingga $y=-1$ $\begin{align} & x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2} \\ & = \left 2 \right^{2}+\left 2-1 \right+\left 2 \right\left -1 \right+\left -1 \right^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4$ 62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{13-2-1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3-1+22 \\ 1-1+12 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 2$ 63. Soal SPMB 2007 Kode 341 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left A+B \right^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left A^{n} \right=\left A \right^{n}$ dapat kita peroleh $\begin{align} \left \left A+B \right^{2} \right &= \left \left \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right^{2} \right \\ &= \left \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ^{2} \right \\ &= \left \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \right^{2} \\ &= \left 15-15 \right^{2}=0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 64. Soal SPMB 2007 Kode 541 *Soal Lengkap Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$ $\begin{align} A\ & 17 \\ B\ & 6 \\ C\ & -1 \\ D\ & -6 \\ E\ & -22 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri. Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku $\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ a+4a-3 &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$ Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku $\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$ Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -6$ 65. Soal SPMB 2007 Kode 441 *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 0 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 13 & 1 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} &A^{2}-2A+I \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 22+04 & 20+01 \\ 42+14 & 40+11 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-4+1 & 0 -0+0 \\ 12-8+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ 66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diketahui invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ Matriks $x$ yang memenuhi hubungan $AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 12+01+20 & 1-1+00+2-3 \\ 12+21+10 & 1-1+20+1-3 \\ 32+51+30 & 3-1+50+3-3 \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$ 67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$. Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh. $\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ 2$ 68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $1+k=-1$ sehingga $k=-2$. $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$. $\begin{array}{cccc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &+ \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $ Nilai $x+y+z=3-1+2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 4$ 69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 *Soal Lengkap Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$, maka $det \left 2A^{-1} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{4}{mn} \\ B\ & \dfrac{mn}{4} \\ C\ & \dfrac{4m}{n} \\ D\ & 4mn \\ E\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ $\left A \pm B \right^{T} = A^{T} \pm B^{T} $ $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$ Dari $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left A \right &= \left C \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= \left C \right \cdot \left \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= n \cdot \left \left D^{T} - B \right^{T} \right \\ \left A \right &= n \cdot m \\ \hline \left 2A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left A \right} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{4}{mn}$ 70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 0 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left A^{T} A+BB^{T} \right &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= 310-55 \\ &= 30-25 =5 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 71. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $A$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $c$ dan $d$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ I \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2c-d \\ 2c+d \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} 4+d &= 2c+d \\ 4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\ \hline 3-c &= 2c-d \\ d &= 2c+c-3 \\ d &= 32-3= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 72. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $F$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $m$ dan $n$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5+8 & n+2m \\ -5+4 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & n+2m \\ -1 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} n+m &= 0 \\ n &= -m \\ \hline n+2m &= 1 \\ -m+2m &= 1 \\ m &= 1\ \longrightarrow n=-1 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=2m-n=21-1=3$ dan $Q=3$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 73. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan invers matriks $B$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix}=3B$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} B &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \\ B &= \dfrac{1}{-51-2-3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3B \\ \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+1 & -9+y \\ 2+y+2x & -15 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} x+1 &= 3 \\ x &= 2 \\ \hline -9+y &= -6 \\ y &= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=3x-2y=32-23=0$ dan $Q=0$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa dari Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks silahkan disampaikan Ÿ™ CMIIWŸ˜Š. Jangan Lupa Untuk Berbagi Ÿ™ Share is Caring Ÿ€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLEŸ˜Š

sehinggadapat menentukan strategi bisa mencapai posisi yang lebih kedepannya untuk masing-masing tinggi. produk tersebut. Jadi setiap produk 2.Stars (Quadran II), mengindikasikan mempunyai perlakuan yang berbeda produk utama yang berpeluang sesuai dengan kondisi yang dihadapi. jangka panjang untuk mengalami pertumbuhan dan meningkatkan

bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel - Selamat datang di situs kami. Pada pertemuan ini admin akan membahas perihal bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya Soal UN Matematika Tahun 2020 RPP REVISI 2018 from the best hotels & motels, around anacortes,wa and get detailed driving directions with road conditions, live traffic updates, and reviews of local business along the way. Persyaratan fisik, meliputi lokasi hotel dan kondisi bangunan. Whatcom county’s bellingham best western hotel is 52 miles from vancouver and only 20 minutes from the us/canadian border. bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya Matriks Yang Sesuai Untuk Menentukan Biaya HotelTentukan pasar market menentukan pasar merupakan hal yang paling penting dalam melakukan analisis. Berapa biaya rehabilitasi di bellingham, washington? Whatcom county’s bellingham best western hotel is 52 miles from vancouver and only 20 minutes from the us/canadian border. Alasan lain penggunaan aplikasi booking hotel adalah karena harga yang ditawarkan lebih murah. Square4 matriks biaya untuk pekerjaan jalan yang sesuai dikaitkan dengan lalu. bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya lain penggunaan aplikasi booking hotel adalah karena harga yang ditawarkan lebih county’s bellingham best western hotel is 52 miles from vancouver and only 20 minutes from the us/canadian border. Key features of hotel accommodation in the united states Dasar penilaian yang digunakan untuk menentukan jumlah bintang yang diterima antara lain adalahSquare4 matriks biaya untuk pekerjaan jalan pertama adalah menentukan pilihan terhadap unit mana yang akan dianalisis. Selain itu, pengaruh teknologi juga berperan pada meningkatnya tingkat hunian hotel. Find the best hotels & motels, around anacortes,wa and get detailed driving directions with road conditions, live traffic updates, and reviews of local business along the hotel yang menerima tamu untuk tinggal dalam jangka waktu yang agak lama, tapi tidak untuk bcg adalah sebuah matriks diagram yang diciptakan oleh bruce d. Array dua dimensi juga dapat digunakan untuk menentukan lokasi tempat pembangunan gudang yang terdekat dengan dua buah pabrik, dimana gudang tersebut digunakan untuk menyimpan hasil produksi dari dua buah pabrik tersebut. Tentukan pasar market menentukan pasar merupakan hal yang paling penting dalam melakukan menghitung harga pokok tarif kamar hotel, dibutuhkan aktivitas yang sesuai dengan pemicu biaya cost driver.Maraknya aplikasi pemesanan hotel online juga menawarkan solusi lain bagi mereka yang tak punya banyak waktu untuk mencari hotel atau penginapan yang sesuai harapan. Array dua dimensi dapat digunakan untuk menentukan biaya minimal untuk membuat jalan tol untuk menghubungkan dua perusahaan. Kualifikasi tenaga kerja, meliputi pendidikan dan kesejahteraan is 11 minutes from bellingham hotel to western washington university and 14 minutes to historic biaya rehabilitasi di bellingham, washington? Sebenarnya, proses perkalian matriks ini tidak serumit kelihatannya. Henderson untuk membantu perusahaan dalam menganalisis serta mengelola unit usaha dan lini itulah pembahasan tentang bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel yang bisa kami sampaikan. Terima kasih telah berkunjung pada website awak. semoga artikel yg awak periksa diatas menaruh untung pembaca dan banyak sendiri yang sudah berkunjung pada website ini. awak pamrih dorongan dari seluruh kubu pelebaran website ini supaya lebih apik lagi.

Translationsin context of "MENENTUKAN BIAYA UNTUK MENGEMBANGKANNYA" in indonesian-english. HERE are many translated example sentences containing "MENENTUKAN BIAYA UNTUK MENGEMBANGKANNYA" - indonesian-english translations and search engine for indonesian translations. biaya penginapan suatu hotel 7hari penginaoan di hotel tersebut untuk 15hari1. biaya penginapan suatu hotel 7hari penginaoan di hotel tersebut untuk 15hari2. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya penginapan dihotel itu untuk 4 hari?3. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya oenginapan dihotel itu untuk 4 hari?4. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah Rp. Maka berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 2 minggu ?​5. biaya penginapan di suatu hotel kelas melati untuk 7 hari adalah Rp8400000 biaya di hotel tersebut untuk 15 hari adalah6. biaya sewa kamar hotel untuk 4 hari adalah berapakah biaya sewa kamar hotel tersebut untuk 12 hari?7. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7hari adalah rp biaya penginapan di hotel itu 4hari adalah​8. Biaya pengiriman di suatu hotel untuk 7 hari adalah Berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari?9. Biaya penginapan suatu hotel untuk 7 hari adalah rupiah berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari10. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah11. Biaya penginapan suatu hotel kelas melati untuk 7 hari adalah penginapan di hotel tersebut untuk 15 hari adalah12. biaya Penginapan di Suatu hotel untuk 7 hari RP 875,000,00. biaya Penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah...?​13. biaya penginapan disuatu hotel untuk 7 hari biaya penginapan dihotel untuk 4 hari​14. biaya penginapan di suatu hotel untuk 3 hari adalah 52500 jika mengeluarkan biaya sebanyak berapa lama ia menginap di hotel15. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 6 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah .... *16. Biaya penginapan disuatu hotel untuk 7 hari Berapa biaya penginapan hotel untuk 4 hari17. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari rp biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah ...18. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah Berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari19. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah ​20. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari 1. biaya penginapan suatu hotel 7hari penginaoan di hotel tersebut untuk 15hari Biaya per hari = = 15 hari = x 15 = untuk 15 hari menghabiskan uang Rp 7 hari biaya penginapan 15 haripen biaya penginapan 1 hari biaya penginapan 15 HR 15× penginapan 15 hari adalah 2. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya penginapan dihotel itu untuk 4 hari? 7 hari / 4 hari = / aa = 4 x / 7a = Rp 3. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya oenginapan dihotel itu untuk 4 hari? 7 hari / 4 hari = / aa = 4 x / 7a = Rp harga hotel sehari 125000×4=500000jadi harga hotel selama 4 hari adalah 4. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah Rp. Maka berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 2 minggu ?​Jawaban dengan langkah-langkah + = Semoga membantu ☺️ 5. biaya penginapan di suatu hotel kelas melati untuk 7 hari adalah Rp8400000 biaya di hotel tersebut untuk 15 hari ÷ 7 = / × 15 hari = 6. biaya sewa kamar hotel untuk 4 hari adalah berapakah biaya sewa kamar hotel tersebut untuk 12 hari? 4 hari = 12 hari = x 3 = Untuk 12 hari Rp. sewa kamar 12 hari12 ÷ 4 = 33 × = Rp 7. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7hari adalah rp biaya penginapan di hotel itu 4hari adalah​JawabanBiaya hotel selama 7 hari = Rp. hotel 1 hari [tex] = 875 \ 000 \div 7 \\ = 125 \ 000[/tex]Biaya hotel 4 hari [tex] = 4 \times 125 \ 000 \\ = 500 \ 000[/tex]Jadi biaya penginapan hotel selama 4 hari adalah 8. Biaya pengiriman di suatu hotel untuk 7 hari adalah Berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari? 7 = 1hari x 4 = x = rupiah 9. Biaya penginapan suatu hotel untuk 7 hari adalah rupiah berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 = harijika 4 hari maka = biaya penginapan selama 4 hari adalah Rp jika salah 10. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalahJawaban dengan langkah-langkahBiaya 1 hari = × = dengan langkah-langkahcmiiw 11. Biaya penginapan suatu hotel kelas melati untuk 7 hari adalah penginapan di hotel tersebut untuk 15 hari adalah 1. Cari biaya penginapan per hari 1 hariBiaya penginapan per hari = [tex] \frac{ hari} [/tex]= Cari biaya penginapan untuk 15 hariBiaya penginapan untuk 15 hari= x 15 hari= bermanfaatD's legacyBiaya penginapan per hari = 7= penginapan 15 hari = × 15= 12. biaya Penginapan di Suatu hotel untuk 7 hari RP 875,000,00. biaya Penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah...?​JawabanPenyelesaianbiaya Penginapan di Suatu hotel untuk 7 hari RP 875,000,00. biaya Penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah ...7 hari = hari = ...Biaya penginapanhotel[tex] \sf \frac{7 \ hari}{4 \ hari} = \frac{ \\ [/tex][tex] \ \sf 7 \times x = 4 \times \ \ \ \ \ \ \sf 7x = \ \ \ \ \ \ \ \ \sf x = \frac{ \\ [/tex][tex] \ \ \ \ \ \ \ \ \sf x = untuk 4 hari 13. biaya penginapan disuatu hotel untuk 7 hari biaya penginapan dihotel untuk 4 hari​JawabanRp. dengan langkah-langkah=Rp. ÷ 7 × 4= × 4=Rp. 14. biaya penginapan di suatu hotel untuk 3 hari adalah 52500 jika mengeluarkan biaya sebanyak berapa lama ia menginap di hotel biaya penginapan di suatu hotel untuk 3 hari adalah 52500 jika mengeluarkan biaya sebanyak berapa lama ia menginap di hotelJawaban Biaya 3 hari = hari jika biayanya diketahui dulu biaya penginapan 1 hari, yaitu 3 = = dia menginap di hotel selama 9 = 52500X= 90Penjelasan dengan langkah-langkahJawabDiket3 = 52500X= 3 × 90 hari/ 3 bulan 15. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 6 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah .... *Jawab dengan langkah-langkah = x 4 = Rp 16. Biaya penginapan disuatu hotel untuk 7 hari Berapa biaya penginapan hotel untuk 4 hari 7 Hari = X 4 hari = hari => hari => ...? aJawab 7/4 = = 4/7 × = Rp 17. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari rp biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah ...biaya penginapan/hari 7= penginapan 4 hari x 4= ========= 18. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah Berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari Biaya penginapan/hari= 1250000Biaya penginapan 4 hari= 4×1250000= 5000000 19. Biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari Rp Biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari adalah ​Jawaban1hari= 4 hari= dengan langkah-langkahsemoga membantu 20. biaya penginapan di suatu hotel untuk 7 hari adalah berapa biaya penginapan di hotel itu untuk 4 hari Biaya penginapan/hari= 8750007= 125000Biaya penginapan 4 hari= 4×125000= 500000= Membantu

1 Fokus pada Proses. Sebagian besar produksi global dilakukan untuk membuat produk bervolume rendah, tetapi keragamannya tinggi pada tempat yang disebut "job shop". Fasilitas seperti itu diatur sesuai dengan aktivitas atau proses tertentu. Fasilitas yang ada terfokus pada proses (prosses foosed) dalam hal peralatan, tata letak, dan

Biayadiukur dengan mengalikan banyak perjalanan dengan besarnya jarak. Dalam penentuan lokasi yang sesuai dengan tujuannya maka terdapat lima macam perhitungan biaya yang dapat dipilih yaitu: rectilinear distance cost, quadratic cost, euclidean distance cost, distance measured as p-power, areas as demand point. 2.

JenisQuality Control atau Kendali Mutu. Berdasarkan produknya, kendali mutu atau quality control dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu quality control internal dan quality control external.Simak informasi berikut. 1. Quality control internal. Jenis pengendalian mutu yang pertama adalah quality control internal yang merupakan bentuk pengendalian mutu yang memiliki hubungan secara langsung

PengertianKonsultan Proyek. Konsultan proyek adalah badan usaha atau perorangan yang diminta owner (pemilik proyek) untuk mengawasi pelaksanaan proyek sehingga pelaksanaan proyek dapat berjalan dengan baik dan dapat selesai dengan cepat.. Penyedia jasa konsultan ini harus memiliki beberapa orang ahli di bidang Arsitektur, Teknik Sipil, Mekanikal Elektrikal, listrik dan lain-lain.

OlBA1.

4fay09yvs1.pages.dev/295

4fay09yvs1.pages.dev/135

4fay09yvs1.pages.dev/61

4fay09yvs1.pages.dev/324

4fay09yvs1.pages.dev/471

4fay09yvs1.pages.dev/253

4fay09yvs1.pages.dev/214

4fay09yvs1.pages.dev/295

bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel